Déplacement d’une figure par translation

En mathématique géométrique, il y a plusieurs types de mouvement dans un plan. On les différencie à travers les caractéristiques qu’ils présentent. Cela concerne surtout le changement de distance et le changement des angles. Ainsi, il y a la similitude ou plane directe et la similitude ou plane indirecte. La translation fait partie de la similitude directe parce qu’elle a une isométrie directe que l’on appelle déplacement. Cette transformation de plan conserve les distances, et c’est pour cela qu’il s’agit aussi d’une isométrie.

Rappel sur les similitudes

On appelle similitude les transformations du plan qui garde les rapports de distances. Ainsi, il y a un critère à prendre en compte pour catégoriser une transformation du plan comme étant une similitude. Le rapport k doit être positif et les distances doivent être multipliées par ce réel. C’est pour cette raison qu’on catégorise les translations, les rotations, l’identité, les réflexions, les symétries axiales et centrales comme des similitudes.

Si le rapport k=1, alors les distances sont conservées. C’est un caractère spécifique des isométries. Pour la rotation, il y a une symétrie centrale, mais c’est aussi une isométrie. Elles conservent les angles géométriques.

Avec les similitudes directes, les angles sont orientés de la même façon. Le déplacement est une isométrie directe. Les translations, les rotations, l’identité, les réflexions, les symétries axiales et centrales sont des similitudes directes. Visitez www.accromaths.fr pour plus d’information.

Avec les similitudes indirectes, les angles sont orientés à l’opposé de celui de la figure d’origine. On les appelle aussi anti-déplacement. Ainsi, seule la réflexion est une similitude indirecte.

La translation

La translation est un déplacement (une isométrie directe) qui se fait dans un plan. Comme c’est une similitude directe, elle conserve l’orientation des angles ainsi que les distances. Par exemple, une voiture qui roule en suivant une ligne droite effectue une translation. C’est le vecteur vitesse qui est en translation parce qu’elle conserve toutes ses formes quand elle avance ou recule.

Il y a la translation complexe qui se fait dans un plan complexe. Dans ce cas, il faut juste conserver les caractéristiques des vecteurs. Pour tout point M issu du premier cas de figure, il y a un autre point M’ après le déplacement. C’est dans la formule f(z) = z’ dont z et z’ sont les affixes respectifs de M et de M’.

Dans une translation maths, on connait les coordonnées du vecteur qu’on veut déplacer ainsi que celui du point d’origine M. Il reste à savoir la place de M’ dans le repère et dans le plan. Pour faire plus simple, on peut dire que la translation de M d’affixe z suivant un vecteur d’affixe b donne la position du point M’, d’où z’ = z + b. C’est l’expression complexe qui caractérise un déplacement en translation. Les longueurs, les angles, les perpendicularités ainsi que les parallélismes sont gradés. Les deux figures avant et après le glissement sont identiques. Les vecteurs sont aussi invariants.

Dans le plan, si un vecteur d’ordonnés (a,b) glisse le point M(x,y) et le transforme en M’(x’,y’), alors on peut dire que x’ = x + a et y’ = y + a. Dans l’espace, il y a une troisième dimension qui est le z et le z’, alors, on pourra aussi dire que x’ = x + a, y’ = y + b et z’ = z + c.

Les mouvements de translation

En cinématique, on considère un solide comme un élément indéformable. Elle est en mouvement de translation si et seulement si les segments qui joignent les points de la solide ne changent pas de caractéristique durant le déplacement.

Ainsi, le mouvement ne suivra pas forcément une direction rectiligne, mais elle peut aussi être curviligne. La nacelle de la grande roue tourne et suit une trajectoire curviligne. Cependant, elle est en rotation par rapport au support qui reste fixe. C’est un mouvement de translation maths, mais une translation circulaire. Dès que les vecteurs vitesse et les coordonnées restent homogènes, il y a une transformation.

Comment construire le déplacement d’une figure par translation ?

Dans la transformation, les propriétés de la figure glissée doivent être identiques à celle de la figure d’origine. Effectivement, la translation conserve toutes les caractéristiques des vecteurs d’origines. Sur l’espace et sur le plan, c’est juste l’emplacement qui change.

Pour construire la translation d’un point, il faut utiliser un compas. Cela permet de garder exactement les distances et les angles.

Par exemple, sur un plan orthonormé direct, il y a trois points A, B et C. C est l’image de B avec une transformation rectiligne. Le but est de construire D, image de A par la même translation maths de B en C. Pour cela, il faut prendre avec un compas l’écartement entre A et B et on reporte cette distance en mettant le bout du compas au point C. Après, on prend l’écartement entre B et C et on reporte en partant du point A. Enfin, on aura une intersection des deux arcs et c’est le point D. Le total de la figure donne une perpendiculaire ABCD.